ADs by Techtunes ADs
ADs by Techtunes ADs

মজার গণিতঃ জটিল সংখ্যার ওমেগা (ω)-র দুটি সূত্রের প্রমাণ!

জটিল সংখ্যা- নামটাই জানি কেমন!!! শুনলেই কোষ্ঠকাঠিন্য রোগের কথা মনে পরে!!! 😛 !!! দুঃখিত, একটু বেশিই বলে ফেললাম! যাই হোক, জটিল সংখ্যা যতই জটিল হোক না কেন, এটি আসলেই খুব মজার!

ADs by Techtunes ADs

বিঃদ্রঃ আজকের এই প্রমাণ দুটি ভালোভাবে বোঝার জন্যে, আপনাকে অবশ্যই "ω এবং ω²" সম্পর্কে জানতে হবে। আর, "ω এবং ω²" সম্পর্কে জানতে হলে, আমার বিগত লেখা দুটি দেখুনঃ

বিগত পোস্টে আমরা জটিল সংখ্যার ω এবং ω² নিয়ে জেনেছিলাম। আজ আমরা এই ω এবং ω² এর দুটি সূত্র সম্পর্কে জানবো এবং সেই সূত্রগুলোর প্রমাণও দেখবো ! 🙂 ! কথা না বাড়িয়ে চলুন শুরু করিঃ

সূত্রাবলীঃ

সূত্র ১: ω³=1

সূত্র ২: 1+ω+ω²=0

সূত্র দুটির প্রমানঃ

সূত্র ১ এর প্রমাণঃ

আমরা জানি,

                   -1+√(-3)

          ω = ───────   ...................... (i)

ADs by Techtunes ADs

                        2

                    -1-√(-3)

এবং, ω²= ───────   ...................... (ii)

                         2

(i) ও (ii) নং সমীকরণ গুন করে পাই,

                         -1+√(-3)         -1-√(-3)

          ω.ω² = ─────── x ───────

                             2                      2

                   {(-1)+√(-3)}{(-1)-√(-3)}

   বা, ω³ = ──────────────

ADs by Techtunes ADs

                                2 x 2

                   (-1)² - {√(-3)}²

             = ────────── [যেহেতু, (a+b)(a-b) = a² - b²]

                            4

                   1 - (-3)

             = ──────

                       4

                   1 + 3

             = ─────

                      4

ADs by Techtunes ADs

                  4

             = ──

                  4

             = 1

সুতরাং, ω³=1

[প্রমাণিত]

সূত্র ২ এর প্রমাণঃ

1, ω এবং ω² হচ্ছে ³√1 এর তিনটি মূল। আমাদের প্রমাণ করতে হবে, ³√1 এর মূল তিনটির যোগফল শুন্য(০)

অর্থাৎ, 1+ω+ω²=0


প্রমাণঃ

আমরা জানি,

ADs by Techtunes ADs

                   -1+√(-3)

          ω = ───────

                        2

                    -1-√(-3)

এবং, ω²= ───────

                         2

সুতরাং, বামপক্ষ = 1+ω+ω²

                                      -1+√(-3)         -1-√(-3)

                          = 1 + ─────── + ─────── [ω এবং ω² এর মান বসিয়ে]

                                            2                      2

ADs by Techtunes ADs

                                2 + {-1+√(-3)} + {-1-√(-3)}

                          = ──────────────────

                                                         2

                               2 - 1 + √(-3) - 1 - √(-3)

                          = ───────────────

                                                2

                               2 - 2

                          = ────

                                  2

                               0

ADs by Techtunes ADs

                          = ──

                               2

                          = 0

অর্থাৎ, 1+ω+ω² = 0

[প্রমাণিত]

নোটঃ এই প্রমাণ দুটি অনেকেই হয়তোবা আগে থাকতেই জানেন। কিন্তু, আমি এই প্রমাণ দুটি "মজার গণিত"- এ লিখার কারন হলোঃ এমন অনেকেই আছে, যারা এই প্রমাণগুলো ভালোমতো বোঝে না/ স্যারেরাও বোঝায় না (আমি সব কলেজের স্যারদের কথা বলছি না)! তাই, এমন অনেক ছাত্রছাত্রীই আছে, যারা এই সহজ জিনিসগুলাও জানে না!ফলে, অংক করার সময় তাদের অনেক সমস্যায় পড়তে হয়! অনেকে তো না বুঝতে পেরে অংক "ঠাডা মুখস্থ" করা শুরু করে দেয়!!! অংক কি মুখস্থ করার জিনিস?!? :/ ? যাই হোক, আজকের এই প্রমাণ দুটির একটিও যদি অন্তত একজন শিক্ষার্থী ভালোমতো বুঝতে পারে, তাহলে আমার আজকের লেখা সার্থক! 🙂 !

"মজার গণিত"- এর সকল পোস্ট আপনার ফেইসবুক প্রোফাইলে পেতে চাইলে, এই পেজটিতে লাইক দিনঃ  https://www.facebook.com/mojargonit ... ... ... গণিত প্রেমীদের মাঝে গণিতকে পৌঁছে দিতেই পেজের লিংকটি আমি দিলাম। আশা করি, এতে কেও মাইন্ড করবেন না! 😛

গণিত সম্পর্কিত আরও কয়েকটি লেখাঃ

1. ১=২ (এক সমান দুই) !!!!!

2. ০!=১ (০ ফ্যাক্টোরিয়াল=১) এর প্রমাণ

3. ৪=৫ (চার সমান পাঁচ)!!!!!

ADs by Techtunes ADs

4. অসীম থেকে অসীম বাদ দিলে কি থাকে?

5. ³√1=? (এক এর ঘনমূল কত?)

6. জটিল সংখ্যায় Ω এবং Ω² বলতে কি বোঝায়???

গনিতপ্রেমিরা এই লেখাগুলি আশা করি মিস করবেন না!

ADs by Techtunes ADs
Level 0

আমি মুবিন। বিশ্বের সর্ববৃহৎ বিজ্ঞান ও প্রযুক্তির সৌশল নেটওয়ার্ক - টেকটিউনস এ আমি 9 বছর 1 মাস যাবৎ যুক্ত আছি। টেকটিউনস আমি এ পর্যন্ত 11 টি টিউন ও 69 টি টিউমেন্ট করেছি। টেকটিউনসে আমার 0 ফলোয়ার আছে এবং আমি টেকটিউনসে 0 টিউনারকে ফলো করি।

i'm nothing but.......?!.


টিউনস


আরও টিউনস


টিউনারের আরও টিউনস


টিউমেন্টস

Level 0

খুবই সুন্দর টিউন। নতুনদের এবং আরও অনেকের কাজে দিবে। ধন্যবাদ এতো সুন্দর একটি টিউন করার জন্য =D